Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.2

Développez $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.2

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4

Réécrivez $\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Regroupez les termes.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.2

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \sin (x)$ .

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Étape 5.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.5.3

Multipliez $2$ par $1 + \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.5

Réduisez l’expression $\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\cos (x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x)$

Étape 8

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sec (x)$