Trigonométrie Exemples

$\sin (x) = \frac{8}{9}$ , $\cos (2 x)$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (x) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(9)}^{2} - {(8)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{81 - {(8)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{81 - 1 \cdot 64}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $64$ .

Adjacent $= \sqrt{81 - 64}$

Étape 4.4

Soustrayez $64$ de $81$ .

Adjacent $= \sqrt{17}$

Étape 5

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 6

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Étape 7

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Étape 8

Utilisez la définition de $c o s$ pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ . Dans ce cas, $\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Étape 9

Remplacez les valeurs dans $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$

Étape 10

Évaluez $2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$ pour déterminer $\cos (2 x)$ .

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 10.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Étape 10.1.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{81}) - 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2 (\frac{17}{81})$ .

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Étape 10.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{17}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 17}{81} - 1$

Étape 10.1.4.2

Multipliez $2$ par $17$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1$

Étape 10.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1 \cdot \frac{81}{81}$

Étape 10.3

Associez $- 1$ et $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} + \frac{- 1 \cdot 81}{81}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (2 x) = \frac{34 - 1 \cdot 81}{81}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\cos (2 x) = \frac{34 - 81}{81}$

Étape 10.5.2

Soustrayez $81$ de $34$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 47}{81}$

Étape 10.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 x) = - \frac{47}{81}$