Trigonométrie Exemples

$\cos (3 a)$

Étape 1

Une bonne méthode pour développer $\cos (3 a)$ consiste à utiliser le théorème de De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quand $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Étape 2

Développez le côté droit de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ à l’aide du théorème du binôme.

Développer : ${(\cos (a) + i \cdot \sin (a))}^{3}$

Étape 3

Utilisez le théorème du binôme.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) (i \sin (a)) + 3 \cos (a) {(i \sin (a))}^{2} + {(i \sin (a))}^{3}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $i \sin (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (i^{2} \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (- 1 \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $- 1 \sin^{2} (a)$ comme $- \sin^{2} (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (- \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + {(i \sin (a))}^{3}$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $i \sin (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + i^{3} \sin^{3} (a)$

Étape 4.1.6

Factorisez $i^{2}$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (a)$

Étape 4.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - 1 \cdot i \sin^{3} (a)$

Étape 4.1.8

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 i \cos^{2} (a) \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$

Étape 5

Retirez les expressions avec la partie imaginaire, qui sont égales à $\cos (3 a)$ . Retirez le nombre imaginaire $i$ .

$\cos (3 a) = \cos^{3} (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a)$