Trigonométrie Exemples

$\frac{- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{15} \cdot 5$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5}}$ par $\frac{\sqrt{15} \cdot 5}{\sqrt{15} \cdot 5}$ .

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5}{\sqrt{15} \cdot 5} \cdot \frac{- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5})}{\sqrt{15} \cdot 5 (1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}}) + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{15}$ .

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Étape 3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sqrt{15}}$ dans le numérateur.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 \frac{- 1}{\sqrt{15}} + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.1.2

Factorisez $\sqrt{15}$ à partir de $\sqrt{15} \cdot 5$ .

$\frac{\sqrt{15} (5) \frac{- 1}{\sqrt{15}} + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 \frac{- 1}{\sqrt{15}} + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cdot - 1 + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $\sqrt{15} \cdot 5$ .

$\frac{- 5 + 5 \cdot \sqrt{15} \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 + 5 \cdot \sqrt{15} \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + \sqrt{15} \cdot 12}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 4

Déplacez $12$ à gauche de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \cdot \sqrt{15} \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \cdot \sqrt{15} (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}) \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{1}} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{15}}{15}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{15} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.6.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{3 (5)} \cdot \frac{12}{5})}$

Étape 5.6.3

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{3 \cdot 4}{5})}$

Étape 5.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{3 \cdot 4}{5})}$

Étape 5.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{4}{5})}$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{- \sqrt{15}}{5}$ par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- \sqrt{15} \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Étape 5.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{5 \cdot 5}}$

Étape 5.9

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{25}}$

Étape 5.10

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.10.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 (\sqrt{15}) \frac{- 4 \sqrt{15}}{25}}$

Étape 5.10.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 (\sqrt{15}) \frac{- 4 \sqrt{15}}{5 (5)}}$

Étape 5.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{5 \cdot 5}}$

Étape 5.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{5}}$

Étape 5.11

Associez $\sqrt{15}$ et $\frac{- 4 \sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{\sqrt{15} (- 4 \sqrt{15})}{5}}$

Étape 5.12

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}{5}}$

Étape 5.13

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}{5}}$

Étape 5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}{5}}$

Étape 5.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 {\sqrt{15}}^{2}}{5}}$

Étape 5.16

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 5.16.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5}}$

Étape 5.16.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5}}$

Étape 5.16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5}}$

Étape 5.16.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.16.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5}}$

Étape 5.16.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{1}}{5}}$

Étape 5.16.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{5}}$

Étape 5.17

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 60}{5}}$

Étape 5.18

Divisez $- 60$ par $5$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12}$

Étape 6

Multipliez $\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12}$ par $\frac{5 \sqrt{15} + 12}{5 \sqrt{15} + 12}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12} \cdot \frac{5 \sqrt{15} + 12}{5 \sqrt{15} + 12}$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12}$ par $\frac{5 \sqrt{15} + 12}{5 \sqrt{15} + 12}$ .

$\frac{(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)}{(5 \sqrt{15} - 12) (5 \sqrt{15} + 12)}$

Étape 7.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)}{25 {\sqrt{15}}^{2} + 60 \sqrt{15} - 60 \sqrt{15} - 144}$

Étape 7.3

Simplifiez

$\frac{(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)}{231}$

Étape 8

Développez $(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 (5 \sqrt{15} + 12) + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15} + 12)}{231}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 (5 \sqrt{15}) - 5 \cdot 12 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15} + 12)}{231}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 (5 \sqrt{15}) - 5 \cdot 12 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 5 \cdot 12 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 5$ par $12$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.3

Multipliez $12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15})$ .

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Étape 9.1.3.1

Multipliez $5$ par $12$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \sqrt{15} \sqrt{15} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.3.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.3.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 {\sqrt{15}}^{1 + 1} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 {\sqrt{15}}^{2} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.4

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 9.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{\frac{2}{2}} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{\frac{2}{2}} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{1} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15 + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.5

Multipliez $60$ par $15$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 900 + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Étape 9.1.6

Multipliez $12$ par $12$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 900 + 144 \sqrt{15}}{231}$

Étape 9.2

Additionnez $- 25 \sqrt{15}$ et $144 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 60 + 900 + 119 \sqrt{15}}{231}$

Étape 9.3

Additionnez $- 60$ et $900$ .

$\frac{840 + 119 \sqrt{15}}{231}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $840 + 119 \sqrt{15}$ et $231$ .

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Étape 10.1

Factorisez $7$ à partir de $840$ .

$\frac{7 (120) + 119 \sqrt{15}}{231}$

Étape 10.2

Factorisez $7$ à partir de $119 \sqrt{15}$ .

$\frac{7 (120) + 7 (17 \sqrt{15})}{231}$

Étape 10.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (120) + 7 (17 \sqrt{15})$ .

$\frac{7 (120 + 17 \sqrt{15})}{231}$

Étape 10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Factorisez $7$ à partir de $231$ .

$\frac{7 (120 + 17 \sqrt{15})}{7 \cdot 33}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (120 + 17 \sqrt{15})}{7 \cdot 33}$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{120 + 17 \sqrt{15}}{33}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{120 + 17 \sqrt{15}}{33}$

Forme décimale :

$5.63153687 \dots$