Trigonométrie Exemples

$\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}}$ par $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 - 7 \sqrt{15}}$ .

$\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}} \cdot \frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 - 7 \sqrt{15}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}}$ par $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 - 7 \sqrt{15}}$ .

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{(15 + 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{225 - 105 \sqrt{15} + 105 \sqrt{15} - 49 {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $15 - 7 \sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{1} (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 3.2

Élevez $15 - 7 \sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{1} {(15 - 7 \sqrt{15})}^{1}}{- 510}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{1 + 1}}{- 510}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{2}}{- 510}$

Étape 4

Réécrivez ${(15 - 7 \sqrt{15})}^{2}$ comme $(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})$ .

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 5

Développez $(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 (15 - 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \cdot 15 + 15 (- 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \cdot 15 + 15 (- 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} \cdot 15 - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $15$ par $15$ .

$\frac{225 + 15 (- 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} \cdot 15 - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 7$ par $15$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 7 \sqrt{15} \cdot 15 - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 6.1.3

Multipliez $15$ par $- 7$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \sqrt{15} \sqrt{15}}{- 510}$

Étape 6.1.4.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 6.1.4.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}{- 510}$

Étape 6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}{- 510}$

Étape 6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 {\sqrt{15}}^{2}}{- 510}$

Étape 6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 510}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 510}$

Étape 6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{- 510}$

Étape 6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{- 510}$

Étape 6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{1}}{- 510}$

Étape 6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15}{- 510}$

Étape 6.1.6

Multipliez $49$ par $15$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 735}{- 510}$

Étape 6.2

Additionnez $225$ et $735$ .

$\frac{960 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15}}{- 510}$

Étape 6.3

Soustrayez $105 \sqrt{15}$ de $- 105 \sqrt{15}$ .

$\frac{960 - 210 \sqrt{15}}{- 510}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $960 - 210 \sqrt{15}$ et $- 510$ .

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Étape 7.1

Factorisez $30$ à partir de $960$ .

$\frac{30 (32) - 210 \sqrt{15}}{- 510}$

Étape 7.2

Factorisez $30$ à partir de $- 210 \sqrt{15}$ .

$\frac{30 (32) + 30 (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 7.3

Factorisez $30$ à partir de $30 (32) + 30 (- 7 \sqrt{15})$ .

$\frac{30 (32 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Factorisez $30$ à partir de $- 510$ .

$\frac{30 (32 - 7 \sqrt{15})}{30 \cdot - 17}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 (32 - 7 \sqrt{15})}{30 \cdot - 17}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32 - 7 \sqrt{15}}{- 17}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32 - 7 \sqrt{15}}{17}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{32 - 7 \sqrt{15}}{17}$

Forme décimale :

$- 0.28759509 \dots$