Trigonométrie Exemples

${(\frac{1}{4} \cdot (\cos (\frac{π}{10}) + i \sin (\frac{π}{10})))}^{5}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{1}{4} \cos (\frac{π}{10}) + \frac{1}{4} (i \sin (\frac{π}{10})))}^{5}$

Étape 2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (\frac{π}{10})$ .

${(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} + \frac{1}{4} (i \sin (\frac{π}{10})))}^{5}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{4} (i \sin (\frac{π}{10}))$ .

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Étape 3.1

Associez $i$ et $\frac{1}{4}$ .

${(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} + \frac{i}{4} \sin (\frac{π}{10}))}^{5}$

Étape 3.2

Associez $\frac{i}{4}$ et $\sin (\frac{π}{10})$ .

${(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} + \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 4

Utilisez le théorème du binôme.

${(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{5} + 5 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{4} \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}} + 5 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{4} \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.2

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + 5 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{4} \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + 5 \frac{\cos^{4} (\frac{π}{10})}{4^{4}} \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + 5 \frac{\cos^{4} (\frac{π}{10})}{256} \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.5

Associez $5$ et $\frac{\cos^{4} (\frac{π}{10})}{256}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10})}{256} \cdot \frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.6

Associez.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) (i \sin (\frac{π}{10}))}{256 \cdot 4} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.7

Multipliez $256$ par $4$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{3} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + 10 \frac{\cos^{3} (\frac{π}{10})}{4^{3}} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.9

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + 10 \frac{\cos^{3} (\frac{π}{10})}{64} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + 2 (5) \frac{\cos^{3} (\frac{π}{10})}{64} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + 2 \cdot 5 \frac{\cos^{3} (\frac{π}{10})}{2 \cdot 32} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.10.3

Annulez le facteur commun.

Étape 5.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + 5 \frac{\cos^{3} (\frac{π}{10})}{32} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.11

Associez $5$ et $\frac{\cos^{3} (\frac{π}{10})}{32}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10})}{32} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{2} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10})}{32} \cdot \frac{{(i \sin (\frac{π}{10}))}^{2}}{4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $i \sin (\frac{π}{10})$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10})}{32} \cdot \frac{i^{2} \sin^{2} (\frac{π}{10})}{4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.13

Associez.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) (i^{2} \sin^{2} (\frac{π}{10}))}{32 \cdot 4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.14.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \cdot - 1 \sin^{2} (\frac{π}{10})}{32 \cdot 4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.14.2

Associez les exposants.

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Étape 5.1.14.2.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- (5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10}))}{32 \cdot 4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.14.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 (\cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10}))}{32 \cdot 4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{32 \cdot 4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.15.1

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{2^{5} \cdot 4^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{2^{5} \cdot {(2^{2})}^{2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.15.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1.15.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.15.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{2^{5} \cdot 2^{4}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.15.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{2^{5 + 4}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.15.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{2^{9}} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.16

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{- 5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 10 {(\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4})}^{2} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.18

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 10 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{4^{2}} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.19

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 10 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{16} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 2 (5) \frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{16} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.20.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 2 \cdot 5 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{2 \cdot 8} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.20.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 2 \cdot 5 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{2 \cdot 8} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.20.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + 5 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{8} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.21

Associez $5$ et $\frac{\cos^{2} (\frac{π}{10})}{8}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10})}{8} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{3} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.22

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.22.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10})}{8} \cdot \frac{{(i \sin (\frac{π}{10}))}^{3}}{4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.22.2

Appliquez la règle de produit à $i \sin (\frac{π}{10})$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10})}{8} \cdot \frac{i^{3} \sin^{3} (\frac{π}{10})}{4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.23

Associez.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) (i^{3} \sin^{3} (\frac{π}{10}))}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.24.1

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (\frac{π}{10})}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.24.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) (- 1 \cdot i) \sin^{3} (\frac{π}{10})}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.24.3

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) \cdot - 1 i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.24.4

Associez les exposants.

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Étape 5.1.24.4.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- (5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10}))}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.24.4.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 (\cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10}))}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{8 \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.25

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.25.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{2^{3} \cdot 4^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.25.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{2^{3} \cdot {(2^{2})}^{3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.25.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.1.25.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{2^{3} \cdot 2^{2 \cdot 3}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.25.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{2^{3} \cdot 2^{6}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.25.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{2^{3 + 6}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.25.5

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{2^{9}} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.26

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{- 5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + 5 \frac{\cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.28

Associez $5$ et $\frac{\cos (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10})}{4} {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{4} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.29

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.29.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10})}{4} \cdot \frac{{(i \sin (\frac{π}{10}))}^{4}}{4^{4}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.29.2

Appliquez la règle de produit à $i \sin (\frac{π}{10})$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10})}{4} \cdot \frac{i^{4} \sin^{4} (\frac{π}{10})}{4^{4}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.30

Associez.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) (i^{4} \sin^{4} (\frac{π}{10}))}{4 \cdot 4^{4}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.31

Multipliez $4$ par $4^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.31.1

Multipliez $4$ par $4^{4}$ .

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Étape 5.1.31.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) (i^{4} \sin^{4} (\frac{π}{10}))}{4^{1} \cdot 4^{4}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.31.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) (i^{4} \sin^{4} (\frac{π}{10}))}{4^{1 + 4}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.31.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) (i^{4} \sin^{4} (\frac{π}{10}))}{4^{5}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.32

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.32.1

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 5.1.32.1.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (\frac{π}{10})}{4^{5}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.32.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) {(- 1)}^{2} \sin^{4} (\frac{π}{10})}{4^{5}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.32.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \cdot 1 \sin^{4} (\frac{π}{10})}{4^{5}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.32.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{4^{5}} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.33

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + {(\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4})}^{5}$

Étape 5.1.34

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.34.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sin (\frac{π}{10})}{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{{(i \sin (\frac{π}{10}))}^{5}}{4^{5}}$

Étape 5.1.34.2

Appliquez la règle de produit à $i \sin (\frac{π}{10})$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i^{5} \sin^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}}$

Étape 5.1.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.35.1

Factorisez $i^{4}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i^{4} i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}}$

Étape 5.1.35.2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 5.1.35.2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{{(i^{2})}^{2} i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}}$

Étape 5.1.35.2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{{(- 1)}^{2} i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}}$

Étape 5.1.35.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{1 i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}}$

Étape 5.1.35.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{4^{5}}$

Étape 5.1.36

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{1024}$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 \cos^{4} (\frac{π}{10}) i \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 \cos^{2} (\frac{π}{10}) i \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{1024}$ .

$\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 i \cos^{4} (\frac{π}{10}) \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} - \frac{5 i \cos^{2} (\frac{π}{10}) \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{1024}$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 i \cos^{4} (\frac{π}{10}) \sin (\frac{π}{10})}{1024}$ et $- \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512}$ .

$- \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 i \cos^{4} (\frac{π}{10}) \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 i \cos^{2} (\frac{π}{10}) \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{1024}$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $- \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 i \cos^{4} (\frac{π}{10}) \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 i \cos^{2} (\frac{π}{10}) \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512}$ et $\frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π}{10}) \sin^{4} (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 \cos^{3} (\frac{π}{10}) \sin^{2} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{\cos^{5} (\frac{π}{10})}{1024} + \frac{5 i \cos^{4} (\frac{π}{10}) \sin (\frac{π}{10})}{1024} - \frac{5 i \cos^{2} (\frac{π}{10}) \sin^{3} (\frac{π}{10})}{512} + \frac{i \sin^{5} (\frac{π}{10})}{1024}$