Trigonométrie Exemples

$i (2 - 2 i)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot 2 + i (- 2 i)$

Étape 2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$2 \cdot i + i (- 2 i)$

Étape 3

Multipliez $i (- 2 i)$ .

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Étape 3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot i - 2 (i^{1} i)$

Étape 3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot i - 2 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot i - 2 i^{1 + 1}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cdot i - 2 i^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 i - 2 \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 i + 2$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $2 i$ et $2$ .

$2 + 2 i$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de $a = 2$ et $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

Étape 9

Déterminez $| z |$ .

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Étape 9.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 2^{2}}$

Étape 9.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Étape 9.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Étape 9.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Étape 9.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 9.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{2}{2})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de $\frac{2}{2}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 12

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{4}$ et $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$