Trigonométrie Exemples

${(6 (\cos (50) + i \sin (50)))}^{3}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

${(6 \cos (50) + 6 (i \sin (50)))}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(6 \cos (50))}^{3} + 3 {(6 \cos (50))}^{2} (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 \cos (50)$ .

$6^{3} \cos^{3} (50) + 3 {(6 \cos (50))}^{2} (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 {(6 \cos (50))}^{2} (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.3

Appliquez la règle de produit à $6 \cos (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{2} \cos^{2} (50)) (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.4

Multipliez $6^{2}$ par $6$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $6$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6 \cdot 6^{2} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $6$ par $6^{2}$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{1} \cdot 6^{2} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{1 + 2} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{3} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (216 \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.6

Multipliez $216$ par $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.7

Multipliez $6$ par $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $6 i \sin (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) ({(6 i)}^{2} \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $6 i$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (6^{2} i^{2} \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.9

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (36 i^{2} \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (36 \cdot - 1 \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.11

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (- 36 \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.12

Multipliez $- 36$ par $18$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Étape 3.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $6 i \sin (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + {(6 i)}^{3} \sin^{3} (50)$

Étape 3.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $6 i$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 6^{3} i^{3} \sin^{3} (50)$

Étape 3.1.14

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 i^{3} \sin^{3} (50)$

Étape 3.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (50)$

Étape 3.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (50)$

Étape 3.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 (- i) \sin^{3} (50)$

Étape 3.1.18

Multipliez $- 1$ par $216$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) - 216 i \sin^{3} (50)$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) - 216 i \sin^{3} (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 i \cos^{2} (50) \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) - 216 i \sin^{3} (50)$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $216 \cos^{3} (50) + 648 i \cos^{2} (50) \sin (50)$ et $- 648 \cos (50) \sin^{2} (50)$ .

$- 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 \cos^{3} (50) + 648 i \cos^{2} (50) \sin (50) - 216 i \sin^{3} (50)$