Trigonométrie Exemples

$i^{- 15}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{15}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $i^{15}$ comme ${(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $i^{12}$ .

$\frac{1}{i^{12} i^{3}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $i^{12}$ comme ${(i^{4})}^{3}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} i^{3}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.4

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$\frac{1}{i^{2} \cdot i}$

Étape 2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot i}$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{1}{- i}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- i}$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{i}$

Étape 4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- (\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Associez.

$- \frac{1 i}{i i}$

Étape 5.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$- \frac{i}{i i}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i}$

Étape 5.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{i}{i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{i}{i^{2}}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{i}{- 1}$

Étape 6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot i)$

Étape 7

Réécrivez $- 1 \cdot i$ comme $- i$ .

$- - i$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 i$

Étape 9

Multipliez $i$ par $1$ .

$i$

Étape 10

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 11

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 12

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Étape 13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 1$

Étape 14

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Étape 15

Comme l’argument est indéfini et $b$ est positif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 16

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{2}$ et $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$