Trigonométrie Exemples

${(2 - 2 i)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(2 - 2 i)}^{2}$ comme $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ .

$(2 - 2 i) (2 - 2 i)$

Étape 2

Développez $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 - 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 - 4 i - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Étape 3.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i - 2 i (- 2 i)$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 2 i (- 2 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i i$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i)$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{1 + 1}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{2}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 \cdot - 1$

Étape 3.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i - 4$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0 - 4 i - 4 i$

Étape 3.3

Soustrayez $4 i$ de $0$ .

$- 4 i - 4 i$

Étape 3.4

Soustrayez $4 i$ de $- 4 i$ .

$- 8 i$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

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Étape 7.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 7.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 8

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Étape 9

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$