Trigonométrie Exemples

$i^{22}$

Étape 1

Réécrivez $i^{22}$ comme ${(i^{4})}^{5} i^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $i^{20}$ .

$i^{20} i^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez $i^{20}$ comme ${(i^{4})}^{5}$ .

${(i^{4})}^{5} i^{2}$

Étape 2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{5} i^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{5} i^{2}$

Étape 2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1^{5} i^{2}$

Étape 3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 i^{2}$

Étape 4

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$i^{2}$

Étape 5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 1$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 1$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 9

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 9.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

Étape 9.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 9.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = 1$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 1})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{- 1}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $π$ .

$θ = π$

Étape 12

Remplacez les valeurs de $θ = π$ et $| z | = 1$ .

$\cos (π) + i \sin (π)$