Trigonométrie Exemples

${(1 + i)}^{8}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 \cdot 1 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 + 8 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i + 28 \cdot 1 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.5

Multipliez $28$ par $1$ .

$1 + 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.7

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.9

Multipliez $56$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.10

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 (i^{2} \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 (- 1 \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 (- i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.13

Multipliez $- 1$ par $56$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.15

Multipliez $70$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.16.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.16.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.17

Multipliez $70$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.19

Multipliez $56$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.20

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (i^{4} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.21

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.21.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(i^{2})}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.21.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.21.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (1 i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.22

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.23

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.24

Multipliez $28$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.25

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.26.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.26.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.26.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.27

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.28

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.29

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.30

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 i^{7} + i^{8}$

Étape 2.1.31

Réécrivez $i^{7}$ comme $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.31.1

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} i^{3}) + i^{8}$

Étape 2.1.31.2

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Étape 2.1.32

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.32.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Étape 2.1.32.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Étape 2.1.32.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (1 (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Étape 2.1.33

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{2} \cdot i) + i^{8}$

Étape 2.1.34

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- 1 \cdot i) + i^{8}$

Étape 2.1.35

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- i) + i^{8}$

Étape 2.1.36

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + i^{8}$

Étape 2.1.37

Réécrivez $i^{8}$ comme ${(i^{4})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {(i^{4})}^{2}$

Étape 2.1.38

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.38.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

Étape 2.1.38.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

Étape 2.1.38.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1^{2}$

Étape 2.1.39

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $28$ de $1$ .

$- 27 + 8 i - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 27$ et $70$ .

$43 + 8 i - 56 i + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $28$ de $43$ .

$15 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i + 1$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $15$ et $1$ .

$16 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $56 i$ de $8 i$ .

$16 - 48 i + 56 i - 8 i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 48 i$ et $56 i$ .

$16 + 8 i - 8 i$

Étape 2.2.5

Soustrayez $8 i$ de $8 i$ .

$16 + 0$

Étape 2.2.6

Additionnez $16$ et $0$ .

$16$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 16$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + 16^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 256}$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $256$ .

$| z | = \sqrt{256}$

Étape 6.4

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 16$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{16})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{16}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0$ .

$θ = 0$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 0$ et $| z | = 16$ .

$16 (\cos (0) + i \sin (0))$