Trigonométrie Exemples

${(1 + i)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Étape 2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

Étape 2.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

Étape 2.1.7

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

Étape 2.1.8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

Étape 2.1.9

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 3 i - 3 - i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

Étape 2.2.2

Soustrayez $i$ de $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 2$ et $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Étape 6.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Étape 6.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{2}{- 2}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$