Trigonométrie Exemples

$6 - (- 5 + 4 i) - (- 13 - i)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 - - 5 - (4 i) - (- 13 - i)$

Étape 1.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$6 + 5 - (4 i) - (- 13 - i)$

Étape 1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$6 + 5 - 4 i - (- 13 - i)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$6 + 5 - 4 i - - 13 - - i$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $- 13$ .

$6 + 5 - 4 i + 13 - - i$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 + 5 - 4 i + 13 + 1 i$

Étape 1.7

Multipliez $i$ par $1$ .

$6 + 5 - 4 i + 13 + i$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Additionnez $6$ et $5$ .

$11 - 4 i + 13 + i$

Étape 2.2

Additionnez $11$ et $13$ .

$24 - 4 i + i$

Étape 2.3

Additionnez $- 4 i$ et $i$ .

$24 - 3 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 24$ et $b = - 3$ .

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 24^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 24^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 576}$

Étape 6.3

Additionnez $9$ et $576$ .

$| z | = \sqrt{585}$

Étape 6.4

Réécrivez $585$ comme $3^{2} \cdot 65$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $9$ à partir de $585$ .

$| z | = \sqrt{9 (65)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 65}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 3 \sqrt{65}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 3}{24})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{- 3}{24}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- 0.12435499$ .

$θ = - 0.12435499$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = - 0.12435499$ et $| z | = 3 \sqrt{65}$ .

$3 \sqrt{65} (\cos (- 0.12435499) + i \sin (- 0.12435499))$