Trigonométrie Exemples

$7 i^{243} + 10 i^{986}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $i^{243}$ comme ${(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $i^{240}$ .

$7 (i^{240} i^{3}) + 10 i^{986}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $i^{240}$ comme ${(i^{4})}^{60}$ .

$7 ({(i^{4})}^{60} i^{3}) + 10 i^{986}$

Étape 1.1.3

Factorisez $i^{2}$ .

$7 ({(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Étape 1.2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$7 ({({(i^{2})}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$7 ({({(- 1)}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Étape 1.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$7 (1^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Étape 1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 (1 (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Étape 1.4

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$7 (i^{2} \cdot i) + 10 i^{986}$

Étape 1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$7 (- 1 \cdot i) + 10 i^{986}$

Étape 1.6

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$7 (- i) + 10 i^{986}$

Étape 1.7

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 i + 10 i^{986}$

Étape 1.8

Réécrivez $i^{986}$ comme ${(i^{4})}^{246} i^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Factorisez $i^{984}$ .

$- 7 i + 10 (i^{984} i^{2})$

Étape 1.8.2

Réécrivez $i^{984}$ comme ${(i^{4})}^{246}$ .

$- 7 i + 10 ({(i^{4})}^{246} i^{2})$

Étape 1.9

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 7 i + 10 ({({(i^{2})}^{2})}^{246} i^{2})$

Étape 1.9.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 7 i + 10 ({({(- 1)}^{2})}^{246} i^{2})$

Étape 1.9.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 7 i + 10 (1^{246} i^{2})$

Étape 1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 7 i + 10 (1 i^{2})$

Étape 1.11

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$- 7 i + 10 i^{2}$

Étape 1.12

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 7 i + 10 \cdot - 1$

Étape 1.13

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 7 i - 10$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $- 7 i$ et $- 10$ .

$- 10 - 7 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 10$ et $b = - 7$ .

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 10)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 100}$

Étape 6.3

Additionnez $49$ et $100$ .

$| z | = \sqrt{149}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 10})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{- 7}{- 10}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $3.75231861$ .

$θ = 3.75231861$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 3.75231861$ et $| z | = \sqrt{149}$ .

$\sqrt{149} (\cos (3.75231861) + i \sin (3.75231861))$