Trigonométrie Exemples

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$ et $- 4 \sqrt{3}$ .

$- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 4 \sqrt{3}$ et $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Étape 5.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Étape 5.3.2

Additionnez $16$ et $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 5.3.3

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{7 π}{6}$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$