Trigonométrie Exemples

- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre

- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$ et

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i

$- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ et

b = - 4

$b = - 4$ .

| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Élevez

- 4

$- 4$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de produit à

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez

- 4

$- 4$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

3

$3$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ comme

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Étape 5.2.5

Évaluez l’exposant.

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez

16

$16$ par

3

$3$ .

| z | = \sqrt{16 + 48}

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Étape 5.3.2

Additionnez

16

$16$ et

48

$48$ .

| z | = \sqrt{64}

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 5.3.3

Réécrivez

64

$64$ comme

8^{2}

$8^{2}$ .

| z | = \sqrt{8^{2}}

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

| z | = 8

$| z | = 8$

| z | = 8

$| z | = 8$

| z | = 8

$| z | = 8$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

θ = arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de

\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}

$\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ .

θ = \frac{7 π}{6}

$θ = \frac{7 π}{6}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de

θ = \frac{7 π}{6}

$θ = \frac{7 π}{6}$ et

| z | = 8

$| z | = 8$ .

8 (cos (\frac{7 π}{6}) + i sin (\frac{7 π}{6}))

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$