Trigonométrie Exemples

$2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 2 \sqrt{2}$ et $b = - 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

Étape 4.4.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 8}$

Étape 4.5.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Étape 4.5.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.5.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 4$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{- 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = - \frac{π}{4}$ et $| z | = 4$ .

$4 (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$