Trigonométrie Exemples

$2 i^{2} + 3 i^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 \cdot - 1 + 3 i^{3}$

Étape 1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 3 i^{3}$

Étape 1.3

Factorisez $i^{2}$ .

$- 2 + 3 (i^{2} \cdot i)$

Étape 1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 2 + 3 (- 1 \cdot i)$

Étape 1.5

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$- 2 + 3 (- i)$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 - 3 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 2$ et $b = - 3$ .

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 4}$

Étape 5.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{13}$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 3}{- 2})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{- 3}{- 2}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $4.12438637$ .

$θ = 4.12438637$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = 4.12438637$ et $| z | = \sqrt{13}$ .

$\sqrt{13} (\cos (4.12438637) + i \sin (4.12438637))$