Trigonométrie Exemples

$\tan (67.5)$

Étape 1

Réécrivez $67.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Étape 4.6

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Étape 4.7

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 4.11.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 4.12

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Étape 4.13

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Étape 4.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 4.15

Simplifiez

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.16

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.17.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.17.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.18

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 4.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.19.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.19.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Étape 4.19.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.19.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Étape 4.19.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Étape 4.19.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Étape 4.19.5

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 2$ et $2$ .

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Étape 4.19.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Étape 4.19.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Étape 4.19.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Étape 4.19.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.19.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Étape 4.19.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Étape 4.19.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Étape 4.19.5.4.4

Divisez $\sqrt{2} + 1$ par $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Étape 4.20

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Étape 4.21

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$2.41421356 \dots$