Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - \sin^{2} (\frac{θ}{3})$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (\frac{θ}{3})$ et $b = \sin (\frac{θ}{3})$ .

$(\cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3})) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 2

Développez $(\cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3})) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (\frac{θ}{3}) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les termes opposés dans $\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$ et $\sin (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3})$ .

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) - \cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.1.2

Additionnez $- \cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$ et $\cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$ .

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + 0 + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.1.3

Additionnez $\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3})$ et $0$ .

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Élevez $\cos (\frac{θ}{3})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2.1.2

Élevez $\cos (\frac{θ}{3})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (\frac{θ}{3}) \cos^{1} (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (\frac{θ}{3})}^{1 + 1} + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$

Étape 3.2.3

Multipliez $- \sin (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Élevez $\sin (\frac{θ}{3})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - (\sin^{1} (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2.3.2

Élevez $\sin (\frac{θ}{3})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - (\sin^{1} (\frac{θ}{3}) \sin^{1} (\frac{θ}{3}))$

Étape 3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - {\sin (\frac{θ}{3})}^{1 + 1}$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - \sin^{2} (\frac{θ}{3})$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 \frac{θ}{3})$

Étape 5

Associez $2$ et $\frac{θ}{3}$ .

$\cos (\frac{2 θ}{3})$