Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{π}{8})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sec (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (\frac{\frac{π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Étape 3

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Étape 4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the first quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Étape 5.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Forme décimale :

$1.08239220 \dots$