Trigonométrie Exemples

$f (x) = \cos (x + 2) + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ comme une équation.

$y = \cos (x + 2) + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \cos (y + 2) + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\cos (y + 2) + 1 = x$ .

$\cos (y + 2) + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (y + 2) = x - 1$

Étape 3.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y + 2 = \arccos (x - 1)$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \arccos (x - 1) - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ est l’inverse de $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $\arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2) + 0) - 2$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $\cos (x + 2)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2)) - 2$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\arccos (x - 1) - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $\cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1) + 0) + 1$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\arccos (x - 1)$ et $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

Étape 5.3.4

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ est l’inverse de $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$