Trigonométrie Exemples

$f (x) = 9 x^{2} - 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 9 x^{2} - 1$ comme une équation.

$y = 9 x^{2} - 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 9 y^{2} - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $9 y^{2} - 1 = x$ .

$9 y^{2} - 1 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} = x + 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = x + 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = x + 1$ par $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{9} + \frac{1}{9}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{9}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\frac{x + 1}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (x + 1)$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{9}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.5.2.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x + 1)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x + 1)}$

Étape 3.5.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.5.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 1, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ est le domaine de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Étape 6