Trigonométrie Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{4 y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{4 y - 1} = x$ .

$\sqrt[3]{4 y - 1} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{4 y - 1}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 y - 1}$ comme ${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y - 1)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$4 y - 1 = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = x^{3} + 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{3} + 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{3} + 1$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3} + 1}{4}$

Étape 5.2.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 x - 1}}^{3}$ comme $4 x - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 x - 1}$ comme ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1}{4}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1}{4}$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{(4 x - 1) + 1}{4}$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $4 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) - 1}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Étape 5.3.6

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.3.6.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$