Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ comme une équation.

$y = \frac{3 x}{5 x - 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 y}{5 y - 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $5 y - 2$ .

$(5 y - 2) (x) = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 y x - 2 x = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $5 y - 2$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 y x - 2 x = \frac{3 y}{5 y - 2} (5 y - 2)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 y x - 2 x = 3 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$5 y x - 2 x - 3 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y x - 3 y = 2 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $5 y x - 3 y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $5 y x$ .

$y (5 x) - 3 y = 2 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y$ .

$y (5 x) + y \cdot - 3 = 2 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (5 x) + y \cdot - 3$ .

$y (5 x - 3) = 2 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (5 x - 3) = 2 x$ par $5 x - 3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (5 x - 3) = 2 x$ par $5 x - 3$ .

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 x - 3$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{5 x - 2})}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

Étape 5.2.3

Associez $2$ et $\frac{3 x}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $5 \frac{3 x}{5 x - 2}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $5$ et $\frac{3 x}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{5 (3 x)}{5 x - 2} - 3}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3 \cdot \frac{5 x - 2}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.3

Associez $- 3$ et $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} + \frac{- 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $15 x - 3 (5 x - 2)$ .

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Étape 5.2.4.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 (5 x - 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x) + 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.5

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.4.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 (x)}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $5 x - 2$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 x}{5 x - 3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{5 x - 3})}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

Étape 5.3.3

Associez $3$ et $\frac{2 x}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $5 \frac{2 x}{5 x - 3}$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Associez $5$ et $\frac{2 x}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{5 (2 x)}{5 x - 3} - 2}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2}$

Étape 5.3.4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2 \cdot \frac{5 x - 3}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} + \frac{- 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x - 2 (5 x - 3)$ .

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Étape 5.3.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (5 x - 3)$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x) + 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.5

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.5.6

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 (x)}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $5 x - 3$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$