Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ comme une équation.

$y = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)) = 3 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3))$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{1}{3} (2 y) + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{3} (2 y)$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} y + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $y$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) = 3 x$

Étape 3.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) = 3 x$

Étape 3.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2 y}{3} - 1) = 3 x$

Étape 3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Étape 3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 y + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 y - 3 = 3 x$

Étape 3.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 3 x + 3$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = 3 x + 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 3 x + 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) + 3}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x) + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{3} (2 x)$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 1) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Étape 5.2.4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Étape 5.2.4.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Étape 5.2.4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 3 + 3$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) - 3)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 3 - 3)$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $3 x + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 0)$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$