Trigonométrie Exemples

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Étape 1

Écrivez $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = \frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec (y + 2)$ .

$\frac{\sec (y + 2)}{2} - π = t$

Étape 3.3

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\sec (y + 2)}{2} = t + π$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (y + 2) = 2 (t + π)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (y + 2) = 2 t + 2 π$

Étape 3.6

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la sécante.

$y + 2 = arcsec (2 t + 2 π)$

Étape 3.7

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (t)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ est l’inverse de $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (t))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (t))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) + 2 π) - 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec (t + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2} - π) + 2 π) - 2$

Étape 5.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Étape 5.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) - 2 π + 2 π) - 2$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $\sec (t + 2) - 2 π + 2 π$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Additionnez $- 2 π$ et $2 π$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 0) - 2$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $\sec (t + 2)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2)) - 2$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (t))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (t))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (arcsec (2 t + 2 π) - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π) + 0) - π$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $arcsec (2 t + 2 π)$ et $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π)) - π$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t + 2 π) - π$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (t)) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Étape 5.3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Étape 5.3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 (π)) - π$

Étape 5.3.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Étape 5.3.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + π - π$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $t + π - π$ .

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Étape 5.3.5.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $t$ et $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ , $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ est l’inverse de $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$