Trigonométrie Exemples

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

Étape 1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{\tan (2 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\tan (2 x) \geq 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x \geq \arctan (0)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$2 x \geq 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x \geq 0$

Étape 3.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.6

Déterminez la période de $\tan (2 x)$ .

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Étape 3.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 3.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 3.7

La période de la fonction $\tan (2 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3.9

Déterminez le domaine de $\tan (2 x)$ .

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Étape 3.9.1

Définissez l’argument dans $\tan (2 x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.9.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2} + π n$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2} + π n$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 3.9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 3.9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 3.9.2.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.9.2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Étape 3.9.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Étape 3.9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Étape 3.11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.39$

Étape 3.11.1.2

Remplacez $x$ par $0.39$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

Étape 3.11.1.3

Le côté gauche $0.98926153$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 3.11.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

Étape 3.11.2.3

Le côté gauche $- 2.18503986$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.11.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Vrai

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Faux

$0 < x < \frac{π}{4}$ Vrai

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Faux

Étape 3.12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez l’argument dans $\tan (2 x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2} + π n$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2} + π n$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Plage :

Étape 8