Trigonométrie Exemples

$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$r = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.9.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.4

Divisez $4$ par $4$ .

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Étape 5

La tangente inverse de $\sqrt{3}$ est $θ = 240 °$ .

$r = 1$

$θ = 240 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(1, 240 °)$