Trigonométrie Exemples

$\sin (x) < 0$ , $\cot (x) > 0$

Étape 1

Simplifiez la première inégalité.

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Étape 1.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x < \arcsin (0)$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x < 0$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.7

Consolidez les réponses.

$x = π n$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2) < 0$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) < 0$ et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9.2.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai et $\cot (x) > 0$

Étape 1.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < π$ Faux

$π < x < 2 π$ True and $\cot (x) > 0$

$0 < x < π$ Faux

$π < x < 2 π$ True and $\cot (x) > 0$

Étape 1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $\cot (x) > 0$

Étape 2

Simplifiez la deuxième inégalité.

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Étape 2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x > arccot (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x > \frac{π}{2}$

Étape 2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = π + \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = \frac{π}{2} + π n$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $x = 3$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ et $\cot (3) > 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 7.01525255$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

Étape 2.9.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

Étape 2.10

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and No solution

Aucune solution