Trigonométrie Exemples

$\ln (\frac{x}{x - 5}) + \ln (\frac{x + 5}{x}) - \ln (x^{2} - 25)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x}) - \ln (x^{2} - 25)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x}}{x^{2} - 25})$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{x - 5}$ par $\frac{x + 5}{x}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{x^{2} - 25})$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{x^{2} - 5^{2}})$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{(x + 5) (x - 5)})$

Étape 5

Réduisez l’expression $\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{(x + 5) (x - 5)})$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\frac{x + 5}{x - 5}}{(x + 5) (x - 5)})$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x + 5) (x - 5)})$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x + 5) (x - 5)})$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{1}{x - 5})$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{x - 5}$ par $\frac{1}{x - 5}$ .

$\ln (\frac{1}{(x - 5) (x - 5)})$

Étape 9

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)})$

Étape 10

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}})$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{1 + 1}})$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{2}})$