Trigonométrie Exemples

$\log_{2} (\sqrt{5}) - \log_{2} (\sqrt{40})$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{40}})$

Étape 2

Associez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{40}$ en un radical unique.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5}{40}})$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $5$ et $40$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 (1)}{40}})$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}})$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{1}{8}})$

Étape 4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}})$

Étape 5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{4 (2)}})$

Étape 6.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{2} (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 8.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Étape 8.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Étape 8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 8.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 8.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 8.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

Étape 8.7.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{4})$

Forme décimale :

$- 1.5$