Trigonométrie Exemples

$(9, 3 \sqrt{3})$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{81 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{81 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{81 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{81 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{81 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$r = \sqrt{81 + 27}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.2

Additionnez $81$ et $27$ .

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$r = \sqrt{36 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Étape 5

La tangente inverse de $\frac{\sqrt{3}}{3}$ est $θ = 30 °$ .

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = 30 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(6 \sqrt{3}, 30 °)$