Trigonométrie Exemples

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.7

Divisez $4$ par $4$ .

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Étape 5

La tangente inverse de $\frac{\sqrt{3}}{3}$ est $θ = 30 °$ .

$r = 1$

$θ = 30 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(1, 30 °)$