Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = 1$ , $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ , utilisez le fait que $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ si bien que $\sin (x) = \tan (x) \cdot \cos (x)$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \tan (x) \cdot \cos (x) = 1 \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\sin (x) = \tan (x) \cdot \cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\tan (x)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{1}$

Étape 4

Divisez $1$ par $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = 1$

Étape 5

Pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\cos (x)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 6

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - (1 (\frac{2}{\sqrt{2}}))$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.6.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \sqrt{2}$

Étape 7

Pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\sin (x)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 8.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - (1 (\frac{2}{\sqrt{2}}))$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 8.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.6.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \sqrt{2}$

Étape 9

Les fonctions trigonométriques trouvées sont les suivantes :

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (x) = 1$

$\cot (x) = 1$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$