Trigonométrie Exemples

$\sin (x) = \frac{3}{4}$ , $\cos (x) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Étape 1

Identifiez les côtés connus du triangle en utilisant $\sin (x) = \frac{3}{4}$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp} = \frac{3}{4}$

Étape 2

Identifiez les côtés connus du triangle en utilisant $\cos (x) = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Étape 3

Utilisez $opp = 3$ et $adj = \sqrt{7}$ pour déterminer la valeur de la fonction tangente.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Étape 4

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.2.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Étape 4.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Étape 5

Utilisez $hyp = 4$ et $adj = \sqrt{7}$ pour déterminer la valeur de la fonction sécante.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4}{\sqrt{7}}$

Étape 6

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 6.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 6.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 6.2.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 6.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 6.2.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 6.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Étape 6.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{hyp}{adj} = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Étape 7

Utilisez $opp = 3$ et $adj = \sqrt{7}$ pour déterminer la valeur de la fonction cotangente.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{adj}{opp} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Étape 8

Utilisez $opp = 3$ et $adj = \sqrt{7}$ pour déterminer la valeur de la fonction cosécante.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{hyp}{opp} = \frac{4}{3}$

Étape 9

Les fonctions trigonométriques trouvées sont les suivantes :

$\sin (x) = \frac{3}{4}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan (x) = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\sec (x) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

$\csc (x) = \frac{4}{3}$