Trigonométrie Exemples

$\cos (x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x > \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Étape 3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (3) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 0.98999249$ n’est pas supérieur au côté droit $0.70710678$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (6) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $0.96017028$ est supérieur au côté droit $0.70710678$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (9) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $- 0.91113026$ n’est pas supérieur au côté droit $0.70710678$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Faux

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Vrai

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ Faux

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Faux

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Vrai

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{7 π}{4} + 2 π n < x < \frac{9 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{9 π}{4} + 2 π n)$

Étape 11