Trigonométrie Exemples

$9 x^{2} - 42 x > - 49$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$9 x^{2} - 42 x = - 49$

Étape 2

Ajoutez $49$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 0$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} - 42 x + 49 = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

${(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2} = 0$

Étape 3.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

Étape 3.4

Réécrivez le polynôme.

${(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Étape 3.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 x$ et $b = 7$ .

${(3 x - 7)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez le $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$9 {(0)}^{2} - 42 \cdot 0 > - 49$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 49$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$9 {(5)}^{2} - 42 \cdot 5 > - 49$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $- 49$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{7}{3}$ Vrai

$x > \frac{7}{3}$ Vrai

$x < \frac{7}{3}$ Vrai

$x > \frac{7}{3}$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{7}{3}$ ou $x > \frac{7}{3}$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 10