Trigonométrie Exemples

$3 < 2 y^{2} + 5 y$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$2 y^{2} + 5 y > 3$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 y^{2} + 5 y = 3$

Étape 3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y$ .

$2 y^{2} + 5 (y) - 3 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$2 y^{2} + (- 1 + 6) y - 3 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 1 y + 6 y - 3 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 y^{2} - 1 y) + 6 y - 3 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) (y + 3) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Étape 6

Définissez $2 y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 y - 1$ égal à $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 y - 1 = 0$ pour $y$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $y + 3$ égal à $0$ .

$y + 3 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 y - 1) (y + 3) = 0$ vraie.

$y = \frac{1}{2}, - 3$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < - 3$

$- 3 < y < \frac{1}{2}$

$y > \frac{1}{2}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $y$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$3 < 2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $3$ est inférieur au côté droit $42$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < y < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < y < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 < 2 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 3$

Étape 10.3.2

Remplacez $y$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$3 < 2 {(3)}^{2} + 5 (3)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $3$ est inférieur au côté droit $33$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < - 3$ Vrai

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Faux

$y > \frac{1}{2}$ Vrai

$y < - 3$ Vrai

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Faux

$y > \frac{1}{2}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$y < - 3$ ou $y > \frac{1}{2}$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 13