Trigonométrie Exemples

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 3.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x > \frac{3 π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x > \frac{3 π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x > \frac{π}{4}$

Étape 5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $5 π$ et $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 7

Déterminez la période de $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

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Étape 10.1

Définissez l’argument dans $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Étape 10.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

Étape 10.2.1.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Étape 10.2.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$3 x = π n + π$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = π n + π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = π n + π$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $7.01525255$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.44$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $1.44$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 0.4138503$ n’est pas supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Faux

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

Étape 15