Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Étape 3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x < π$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez $3 (π - \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = π \cdot 3 - π$

Étape 5.2.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = 3 π - π$

Étape 5.2.2.1.4

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = 2 π$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 6.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{3})$ est $6 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $0.99540795$ n’est pas inférieur au côté droit $0.8660254$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < 7 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < 7 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0.14112$ est inférieur au côté droit $0.8660254$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $7 π < x < 8 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $7 π < x < 8 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 24$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $24$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $0.98935824$ n’est pas inférieur au côté droit $0.8660254$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$π < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < 7 π$ Vrai

$7 π < x < 8 π$ Faux

$π < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < 7 π$ Vrai

$7 π < x < 8 π$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Étape 12