Trigonométrie Exemples

$\frac{6}{3 w - 4} > w + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $w$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{6}{3 w - 4} - w > 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{6}{3 w - 4} - w - 1 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{3 w - 4} - w - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- w$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} - w \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.2

Associez $- w$ et $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} + \frac{- w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 - w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - w (3 w) - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.4.1.1

Déplacez $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 (w \cdot w) + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4.4.1.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 - 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 > 0$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} + \frac{- (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w) - - 4}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w - - 4}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w + 4}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.4

Soustrayez $3 w$ de $4 w$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 6 + 4}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.5

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 10}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.8.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 10 = - 30$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.8.6.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 1 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.6.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 5$ plus $6$

$\frac{- 3 w^{2} + (- 5 + 6) w + 10}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 w^{2} - 5 w + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.8.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 3 w^{2} - 5 w) + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{w (- 3 w - 5) - 2 (- 3 w - 5)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.8.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 w - 5$ .

$\frac{(- 3 w - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 w$ .

$\frac{(- (3 w) - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (3 w) - 1 (5)) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 w) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- (3 w + 5)$ comme $- 1 (3 w + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 w + 5 = 0$

$w - 2 = 0$

$3 w - 4 = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 w = - 5$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 w = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 w = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{- 5}{3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$w = - \frac{5}{3}$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 2$

Étape 7

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 w = 4$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $3 w = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $3 w = 4$ par $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$w = - \frac{5}{3}$

$w = 2$

$w = \frac{4}{3}$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$w = - \frac{5}{3}, 2, \frac{4}{3}$

Étape 11

Déterminez le domaine de $- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ .

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Étape 11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 w - 4 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $w$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 w = 4$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $3 w = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 w = 4$ par $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $w$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$w < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < w < 2$

$w > 2$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $w < - \frac{5}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $w < - \frac{5}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = - 4$

Étape 13.1.2

Remplacez $w$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{3 (- 4) - 4} > (- 4) + 1$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $- 0.375$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = 0$

Étape 13.2.2

Remplacez $w$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{3 (0) - 4} > (0) + 1$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 1.5$ n’est pas supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{4}{3} < w < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{4}{3} < w < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = 1.67$

Étape 13.3.2

Remplacez $w$ par $1.67$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{3 (1.67) - 4} > (1.67) + 1$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $5.\overline{9405}$ est supérieur au côté droit $2.67$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $w > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $w > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = 4$

Étape 13.4.2

Remplacez $w$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{3 (4) - 4} > (4) + 1$

Étape 13.4.3

Le côté gauche $0.75$ n’est pas supérieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$w < - \frac{5}{3}$ Vrai

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Faux

$\frac{4}{3} < w < 2$ Vrai

$w > 2$ Faux

$w < - \frac{5}{3}$ Vrai

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Faux

$\frac{4}{3} < w < 2$ Vrai

$w > 2$ Faux

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$w < - \frac{5}{3}$ ou $\frac{4}{3} < w < 2$

Étape 15

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 2)$

Étape 16