Trigonométrie Exemples

$x^{2} + 5 x + 6 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 3$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 6 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $12$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2.5$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $- 2.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2.5)}^{2} + 5 (- 2.5) + 6 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 5 (0) + 6 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $6$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - 2$ Vrai

$x > - 2$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - 2$ Vrai

$x > - 2$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < - 2$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 3, - 2)$

Étape 11