Trigonométrie Exemples

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2} + 3 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- (2 x^{2}) + 3 x + 5 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) + 5 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- (2 x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} - 3 x) - 1 (- 5)$ .

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $2$ plus $- 5$

$- (2 x^{2} + (2 - 5) x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (2 x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 5)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 1) (2 x - 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 1) (2 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 5 > 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 39$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 5 > 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(5)}^{2} + 3 (5) + 5 > 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $- 30$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$x > \frac{5}{2}$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$x > \frac{5}{2}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 1, \frac{5}{2})$

Étape 11