Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{12}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (- \frac{1}{2}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.5.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.5.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.5.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Étape 1.6

Évaluez $\sin (\frac{2}{3})$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0.6183698$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0.6183698$ .

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Étape 1.7.1

Associez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $0.6183698$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 0.6183698}{4}$

Étape 1.7.2

Multipliez $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ par $0.6183698$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{2.38919745}{4}$

Étape 1.8

Divisez $2.38919745$ par $4$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + 0.59729936$

Étape 2

Pour écrire $0.59729936$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + 0.59729936 \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Associez $0.59729936$ et $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{0.59729936 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Étape 4.3

Multipliez $0.59729936$ par $8$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 4.7783949}{8}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) + \sqrt{2} + 4.7783949}{8}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2}) + 4.7783949}{8}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 4.7783949}{8}$

Étape 5.4

Réécrivez $4.7783949$ comme $- 1 (- 4.7783949)$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - 1 (- 4.7783949)}{8}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - 1 (- 4.7783949)$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)}{8}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)$ comme $- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)}{8}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949}{8}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949}{8}$

Forme décimale :

$0.46788984 \dots$