Trigonométrie Exemples

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Le polynôme ne peut pas être factorisé en utilisant la méthode de regroupement. Essayez une autre méthode, ou si vous n’êtes pas sûr, choisissez Facteur.

Le polynôme ne peut pas être factorisé en utilisant la méthode de regroupement.

Étape 2

Pour écrire

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{sin (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{sin (x)}{sin (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Pour écrire

\frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{sin (x)}{sin (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

(1 + cos (x)) sin (x)

$(1 + \cos (x)) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par

\frac{sin (x)}{sin (x)}

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

\frac{sin (x) sin (x)}{(1 + cos (x)) sin (x)} + \frac{1 + cos (x)}{sin (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4.2

Multipliez

\frac{1 + cos (x)}{sin (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ par

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x) sin (x)}{(1 + cos (x)) sin (x)} + \frac{(1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de

(1 + cos (x)) sin (x)

$(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

\frac{sin (x) sin (x)}{sin (x) (1 + cos (x))} + \frac{(1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

\frac{sin (x) sin (x)}{sin (x) (1 + cos (x))} + \frac{(1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{sin (x) sin (x) + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6

Réécrivez

\frac{sin (x) sin (x) + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez

sin (x) sin (x)

$\sin (x) \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Élevez

sin (x)

$\sin (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) sin (x) + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.1.2

Élevez

sin (x)

$\sin (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x) + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{{sin (x)}^{1 + 1} + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.1.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

\frac{{sin}^{2} (x) + (1 + cos (x)) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.2

Développez

(1 + cos (x)) (1 + cos (x))

$(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 (1 + cos (x)) + cos (x) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 cos (x) + cos (x) (1 + cos (x))}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 cos (x) + cos (x) \cdot 1 + cos (x) cos (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 cos (x) + cos (x) \cdot 1 + cos (x) cos (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Multipliez

1

$1$ par

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + 1 cos (x) + cos (x) \cdot 1 + cos (x) cos (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez

cos (x)

$\cos (x)$ par

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) \cdot 1 + cos (x) cos (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez

cos (x)

$\cos (x)$ par

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + cos (x) cos (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez

cos (x) cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.4.1

Élevez

cos (x)

$\cos (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + {cos}^{1} (x) cos (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4.2

Élevez

cos (x)

$\cos (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + {cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + {cos (x)}^{1 + 1}}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + {cos}^{2} (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + {cos}^{2} (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

\frac{{sin}^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos (x) + {cos}^{2} (x)}{sin (x) (1 + cos (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.2

Additionnez

$\cos (x)$ et

$\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4

Réécrivez

$\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Regroupez les termes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.3

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.4

Factorisez

$2$ à partir de

$2 + 2 \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.4.2

Factorisez

$2$ à partir de

$2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.4.3

Multipliez

$2$ par

$1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.5

Réduisez l’expression

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sin (x)}$