Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Le polynôme ne peut pas être factorisé en utilisant la méthode de regroupement. Essayez une autre méthode, ou si vous n’êtes pas sûr, choisissez Facteur.

Le polynôme ne peut pas être factorisé en utilisant la méthode de regroupement.

Étape 2

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$ en forme factorisée.

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Étape 6.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.2

Développez $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 6.3.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.3.2

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4

Réécrivez $\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 6.4.1

Regroupez les termes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (x)$ .

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Étape 6.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.4.4.3

Multipliez $2$ par $1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.5

Réduisez l’expression $\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sin (x)}$