Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.3.2

Élevez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.3.3

Élevez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.3.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.4

Réécrivez ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.5

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.9

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 1.6.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.10

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.6.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.13

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.6.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.13.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.13.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.13.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.6.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.6.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.8.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.8.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.8.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.9.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 1.9.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.9.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.9.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.9.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.9.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.9.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.9.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.9.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.9.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.9.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.9.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 1.9.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Étape 1.9.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Étape 1.9.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Étape 1.9.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 1.10

Multipliez $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 1.10.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.11

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.3

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.12.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.10

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.11

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Étape 1.12.1.14

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{12}}{16}$

Étape 1.12.1.15

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.12.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{4 (3)}}{16}$

Étape 1.12.1.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Étape 1.12.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.12.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 + 6 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.12.3

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.13

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.13.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Étape 1.13.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Étape 1.13.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Étape 1.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 1.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})}{4}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - \sqrt{3} - 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (2)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le polynôme ne peut pas être factorisé en utilisant la méthode spécifiée. Essayez une autre méthode, ou si vous n’êtes pas sûr, choisissez Facteur.

Le polynôme ne peut pas être factorisé en utilisant la méthode spécifiée.