Trigonométrie Exemples

$3 x^{6} + 82 x^{3} + 27$

Étape 1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$3 {(x^{3})}^{2} + 82 x^{3} + 27$

Étape 2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$3 u^{2} + 82 u + 27$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 27 = 81$ et dont la somme est $b = 82$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $82$ à partir de $82 u$ .

$3 u^{2} + 82 (u) + 27$

Étape 3.1.2

Réécrivez $82$ comme $1$ plus $81$

$3 u^{2} + (1 + 81) u + 27$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 1 u + 81 u + 27$

Étape 3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$3 u^{2} + u + 81 u + 27$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + u) + 81 u + 27$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u + 1) + 27 (3 u + 1)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u + 27)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 27)$

Étape 5

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 3^{3})$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))$

Étape 7.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x^{3} + 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$