Trigonométrie Exemples

$\frac{h - 2}{h^{2} + 4 h + 4} + \frac{h - 2}{h + 2}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{h - 2}{h^{2} + 4 h + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{h - 2}{h^{2} + 4 h + 4} \cdot \frac{h + 2}{h + 2} + \frac{h - 2}{h + 2}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{h - 2}{h + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h^{2} + 4 h + 4}{h^{2} + 4 h + 4}$ .

$\frac{h - 2}{h^{2} + 4 h + 4} \cdot \frac{h + 2}{h + 2} + \frac{h - 2}{h + 2} \cdot \frac{h^{2} + 4 h + 4}{h^{2} + 4 h + 4}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(h^{2} + 4 h + 4) (h + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{h - 2}{h^{2} + 4 h + 4}$ par $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(h - 2) (h + 2)}{(h^{2} + 4 h + 4) (h + 2)} + \frac{h - 2}{h + 2} \cdot \frac{h^{2} + 4 h + 4}{h^{2} + 4 h + 4}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{h - 2}{h + 2}$ par $\frac{h^{2} + 4 h + 4}{h^{2} + 4 h + 4}$ .

$\frac{(h - 2) (h + 2)}{(h^{2} + 4 h + 4) (h + 2)} + \frac{(h - 2) (h^{2} + 4 h + 4)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(h^{2} + 4 h + 4) (h + 2)$ .

$\frac{(h - 2) (h + 2)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)} + \frac{(h - 2) (h^{2} + 4 h + 4)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(h - 2) (h + 2) + (h - 2) (h^{2} + 4 h + 4)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{(h - 2) (h + 2) + (h - 2) (h^{2} + 4 h + 4)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Factorisez $h - 2$ à partir de $(h - 2) (h + 2) + (h - 2) (h^{2} + 4 h + 4)$ .

$\frac{(h - 2) (h + 2 + h^{2} + 4 h + 4)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.2

Additionnez $h$ et $4 h$ .

$\frac{(h - 2) (5 h + 2 + h^{2} + 4)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{(h - 2) (5 h + h^{2} + 6)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.4

Laissez $u = h$ . Remplacez toutes les occurrences de $h$ par $u$ .

$\frac{(h - 2) (5 u + u^{2} + 6)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.5

Factorisez $5 u + u^{2} + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(h - 2) ((u + 2) (u + 3))}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.6

Factorisez.

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Étape 5.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $h$ .

$\frac{(h - 2) ((h + 2) (h + 3))}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(h - 2) (h + 2) (h + 3)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 4)}$

Étape 5.7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(h - 2) (h + 2) (h + 3)}{(h + 2) (h^{2} + 4 h + 2^{2})}$

Étape 5.7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 h = 2 \cdot h \cdot 2$

Étape 5.7.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(h - 2) (h + 2) (h + 3)}{(h + 2) (h^{2} + 2 \cdot h \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = h$ et $b = 2$ .

$\frac{(h - 2) (h + 2) (h + 3)}{(h + 2) {(h + 2)}^{2}}$

Étape 5.8

Réduisez l’expression $\frac{(h - 2) (h + 2) (h + 3)}{(h + 2) {(h + 2)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(h - 2) (h + 2) (h + 3)}{(h + 2) {(h + 2)}^{2}}$

Étape 5.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(h - 2) (h + 3)}{{(h + 2)}^{2}}$