Trigonométrie Exemples

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

Étape 2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

Étape 3

Factorisez $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Étape 3.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Étape 3.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Étape 3.3.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Étape 3.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 7 + 2 + 5$

Étape 3.3.6

Additionnez $- 7$ et $2$ .

$- 5 + 5$

Étape 3.3.7

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

Étape 3.5

Divisez $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ par $x + 1$ .

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Étape 3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Étape 3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Étape 3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{3} + 7 x^{2}$

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Étape 3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} - 5 x$

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

Étape 3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Étape 3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Étape 3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Étape 3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x + 5$

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Étape 3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

Étape 3.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$7 x^{2} - 5 x + 5$

Étape 3.6

Écrivez $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ comme un ensemble de facteurs.

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

Étape 4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $- 8 x^{2}$ et $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

Étape 4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

Étape 5

Développez $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.8

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.9

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Étape 6.10

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

Étape 7

Associez les termes opposés dans $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ .

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Étape 7.1

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

Étape 7.2

Additionnez $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ et $0$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Étape 8

Soustrayez $7 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Étape 9

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x^{3}$ .

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

Étape 10.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x^{2}$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

Étape 10.1.3

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

Étape 10.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

Étape 10.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ .

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Étape 11

Associez les exposants.

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Étape 11.1

Factorisez le signe négatif.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Étape 11.3

Multipliez $7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ par $1$ .

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$